A) Os exercícios da aula 3 foram formulados para que pratique aquilo que aprendeu na vídeo-aula. Para avaliação da aula 3, escolha pelo menos UM (1) exercício para resolver.
Leia o texto abaixo e, em seguida, responda as quatro perguntas a seguir. Para sua investigação, use, se necessário, o aplicativo disponível em http://pt.numberempire.com/numberfactorizer.php que permite obter a fatoração de números inteiros. Bom trabalho.
Como você viu na vídeoaula, existem infinitos números primos, o que está demonstrado desde os tempos de Euclides, matemático que viveu por volta de 300 a.C. Um fato curioso que também pode ser demonstrado de maneira simples é o de que é possível produzir “desertos de números primos” de um tamanho arbitrário qualquer. Com “desertos de números primos” estamos querendo dizer uma sequência, de tamanho arbitrário qualquer, de inteiros consecutivos de forma que nessa sequência não haja números primos. Por exemplo, se estamos interessados em uma sequência de cinco inteiros consecutivos de forma que nela não haja números primos, basta exibir a sequência 24, 25, 26, 27 e 28. Observe que 24, 26 e 28 são números pares e, portanto, não são primos (o único número par que é primo é o 2), 25 é divisível por 5 (além de 1 e 25), e 27 por 3 e 9 (além de 1 e 27).
*Escolhi o exercício :
1) A sequência exibida no texto não é a única que atende à condição do problema; existem infinitas outras. Verifique que a sequência 722, 723, 724, 725 e 726, de cinco inteiros positivos consecutivos, também não contém números primos. Exiba todos os divisores positivos de cada um dos números dessa sequência.
722 é divisível por 2, 19, 38 e 361 (além de 1 e 722), 723 é divisível por 3 e 241 (além de 1 e 723), 724 é divisível por 2, 4, 181, 362 (além de 1 e 724), 725 por 5, 25 e 29, 145 (além de 1 e 725) e 726 por 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66, 121, 242, 363 (além de 1 e 726).
2) Exiba um “deserto de números primos” de tamanho seis, ou seja, exiba uma sequência de seis números inteiros positivos e consecutivos tal que nenhum deles seja número primo.
RESPOSTA:
n=3
p=6
3.(3+1).(3+2).(3+3).(3+4).(3+5)+2
3.4.5.6.7.8+2
20162
Deserto de Números Primos: 20162,20163,20164,20165,20166,20167.
3) Veja um teorema sobre o assunto que você está investigando:
Seja n um número inteiro maior do que 1. O primeiro número de um “deserto de números primos” de tamanho p pode ser obtido por meio da conta n.(n+1).(n+2).(n+3)....(n+p-1)+n.
"Por exemplo. Se queremos exibir um deserto de números primos de tamanho p=4, escolha um valor de n como, por exemplo n=2, e faça a conta 2.(2+1).(2+2).(2+3)+2. O número 122, que é o resultado da conta, será o primeiro número de um deserto de primos de tamanho 4. Nesse caso, o deserto a ser exibido é 122, 123, 124, 125. Se tivéssemos escolhido outro valor para n que não o 2, teríamos encontrado outro deserto de números primos de tamanho 4."
Usando o resultado desse teorema, encontre um deserto de números primos de tamanho 5, e que seja diferente dos dois que já foram exibidos nas atividades anteriores.
RESPOSTA:
5.(5+1).(5+2).(5+3).(5.4)+2
5.6.8.9+2
2162
Deserto de Números Primos: 2162, 2163,2164,2165,2166.
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4) Se quiséssemos encontrar um deserto de números primos de tamanho p=7, o primeiro número seria n.(n+1).(n+2).(n+3).(n+4).(n+5).(n+6)+n, com n sendo um inteiro qualquer maior do que 1. Mostre que esse primeiro número do deserto de primos de tamanho 7 não é um número primo, assim como também não são os outros seis números primos da sequência.
Para dar uma ajuda ao seu trabalho, veja a demonstração de que os dois primeiros números dessa sequência não são primos (caberá a você fazer a verificação dos outros 5 números da sequência):
5) Na vídeoaula que você assistiu, sugere-se o seguinte resultado sobre números racionais e sua representação decimal:
Um número racional p/q tem ou representação decimal finita, ou representação decimal infinita e periódica. Se p/q é uma fração irredutível, então esse número terá representação decimal infinita e periódica apenas se na fatoração em números primos de q encontrarmos algum fator primo diferente de 2 e de 5.
Dê exemplos de frações irredutíveis p/q cuja representação decimal seja finita, e exemplos de frações irredutíveis p/q cuja representação decimal seja infinita e periódica. No segundo caso, explicite o fator primo da fatoração de q que faz com que p/q seja uma dízima periódica.
Aula Baseada na Vídeo Aula: Youtube
Professor José Luis Pastore Melo.
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