Exercícios
1. Vimos que o princípio utilizado na construção da escala pitagórica foi a relação entre os sons consonantes e a divisão da corda do monocórdio em frações de números inteiros simples (1, 2, 3 e 4). As duas principais consonâncias utilizadas na sua construção foram o diapason (ou oitava justa), que é obtida quando dividimos a corda em ½ do seu comprimento e o diapente (ou quinta justa), que corresponde à divisão da corda em 2/3 de seu comprimento.
Em música, uma nota e sua oitava são consideradas notas equivalentes. Embora diferentes em termos sonoros (grave e agudo), elas recebem o mesmo nome na maior parte das escalas musicais (Dó - Dó; Sol – Sol; etc)
Pitágoras usou um ciclo de quintas justas para construir uma escala com 7 notas musicais, com uma amplitude equivalente à uma oitava. Ou seja, as divisões da corda deveriam se localizar entre a metade da corda e seu comprimento total.
Assim, toda vez que a fração obtida fosse menor que ½, era necessário obter uma nota equivalente uma oitava abaixo, dobrando o tamanho dessa fração.
Por exemplo: partindo da corda de comprimento unitário, a primeira divisão corresponde a 2/3 de seu comprimento (um ciclo de quinta justa); a segunda divisão (segundo ciclo de quinta justa) corresponde a 2/3 de 2/3, ou seja, 4/9 do comprimento da corda, que é menor que ½. Portanto, aplicamos um ciclo de oitava para obter uma nota equivalente mais grave, que corresponde a 8/9 do comprimento inicial. E o processo continua, sempre aplicando ciclos de quintas justas e ciclos de oitavas quando necessário.
Dessa forma, é possível obter as frações correspondentes às notas de uma escala musical compreendidas entre a metade da corda solta e seu comprimento total. Num violão, por exemplo, essas medidas estão marcadas ao longo do braço do instrumento, como mostra a figura:
Com base nessas informações, responda às questões abaixo:
a) Quantos ciclos de quintas e oitavas são necessários para se obter a nota correspondente a 128/243 (ou aproximadamente 52,67%) do comprimento da corda solta?
2/2 . 2/3 = 4/9 .2 = 8/9 . 2/3 = 16/27 . 2/3 = 32/81 . 2 = 64/81 = 64/81 . 2/3 = 128/243
5 ciclos de quinta
2 ciclos de oitava
b) Que fração da corda obteremos após 8 ciclos de quinta e 4 de oitava? A que porcentagem do comprimento da corda essa fração corresponde?
2/2 . 2/3 = 4/9 .2 = 8/9 . 2/3 . 2/3 = 32/81 . 2 = 64/81 . 2/3 = 128/243 . 2/3 = 256/729 . 2 = 512/729 . 2/3 = 1024/2187 . 2 = 2048/2187 . 2/3 = 4096/6561 = 0,6243
c) E após 12 ciclos de quintas e 7 de oitava?
4096/6561 2/3 = 8192/19683 . 2 = 16384/19683 . 2/3 = 32768/59049 = 32768/59049 . 2/3 = 65536/177147 . 2 = 131072/177147 . 2/3 = 262144/531441 . 2 = 524288/531441 = 0,9865
d) Qual dessas frações anteriores mais se aproxima do comprimento inicial da corda?
A fração que mais se aproxima do comprimento inicial da corda é 524288/531441
2. A construção da escala pitagórica baseada em razões entre os quatro números inteiros positivos (1, 2, 3 e 4) está diretamente relacionada à simbologia numérica característica da tradição da antiga Grécia. Para os pitagóricos, os números extrapolavam seu significado quantitativo, relacionando-se diretamente com o mundo e seus objetos. Um exemplo dessa simbologia numérica eram os números triangulares.
O quarto número triangular, chamado Tetractys, era composto justamente pelos quatro números que Pitágoras usou em sua escala: 1, 2, 3 e 4. Somados, formavam a década (1+2+3+4=10), um dos números considerados perfeito pelos pitagóricos. A Tetractys podia representar tanto as consonâncias musicais, como as dimensões do espaço (1-ponto, 2-reta, 3-triângulo, 4-pirâmide) ou as faculdades cognitivas (1-inteligência; 2-conhecimento; 3-opinião; 4-sentidos).
Considerando a sequência dos números triangulares formados por pontos, responda às questões:
a) Quantos pontos tem o 20o número triangular?
1 , 3 , 6 , 10 ...
2 3 4
1 1
An = a1 + b1 (n-1 + 7/2 (n-1) (n-2)
A20 = 1 + 2 (19) + 1/2 (19) (18)
A20 = 210 pontos
b) Qual o número triangular que contém 630 pontos?
An = 630
a1 + b1 (n-1) + (r/2) (n-1) (n-2) = 630
1 + 2 (19) + (1/2) (n-1) (n-2) = 630
1 + 2n - 2 + (1/2) (n2 - 3n + 2) = 630
2n - 1 + n2/2 - 3/2n + 1 = 630
4n + n2 - 3n = 1260
n2 + n - 1260 = 0
@ = 1 - 4(1) (-1260)
2 = 5041
n = 1 +- 71/2 >35
>-36
n = 35
* @ equivale a um triangulo
c) Escreva a fórmula que represente o número de pontos (Pn) em função do número triangular (n = 1 para o primeiro, n = 2 para o segundo, etc).
Pn = P1 + Q1 (n-1) + (r/2) (n-1) (n-2)
Pn = 1 + 2 (n-1) + (1/2) (n-1) (n-2)
Professor José Luiz Pastore Mello.
