Exercício 2
As embalagens dos produtos tornaram-se um tema social relevante, particularmente quando o assunto é preservação do meio ambiente. Além do tipo de material com que são fabricadas, as embalagens devem ser bem dimensionadas, isto é, ela deve ter a melhor relação volume interno/quantidade de material utilizado. Além disso, na escolha do seu formato, deve-se considerar que, quando embaladas coletivamente, seja menor espaço entre elas. O homem encontrou uma situ- ação similar a esta na natureza: a construção dos alvéolos das abelhas. Observando essa forma prismática dos alvéolos percebeu que estes respeitam uma exigência: a de permitir que com uma mesma quantidade de cera se construa um recipiente com maior volume para acondicionar o mel. O fato das paredes dos alvéolos serem comuns, permitindo que não haja espaços vazios entre elas, remete-nos ao problema da pavimentação do plano, solucionado quando usamos triângulos regulares, quadrados e hexágonos regulares. Como a nossa situação é espacial podemos imaginar a “pavimentação do espaço” com poliedros, particularmente com os prismas regulares retos de base triangular, quadrangular e hexagonal, como apresentados na figura. Considere que você possui uma folha de papel com dimensões 12 cm x 36 cm que servirá como superfície lateral de um prisma e que esse prisma deverá possuir o maior volume possível. Antes da confecção do prisma você deve fazer um projeto e calcular osuma das possibilidades da base; triângulo equilátero, quadrado ou hexágono regular. Ao fim do projeto preencha a tabela abaixo e justifique o modelo adotado. Considera por base a maior dimensão do papel.
Resolução:
Se a altura por 36:12:
Prisma Triangular Regular:
12 = 4 medida do lado do triangulo;
3
Vp = Ab. h
Vp = 4²√3 . 36
4
Vp = 4²√3 . 36
4
Vp = 144√3 cm³
Prisma Quadrangular Regular:
12 = 3 medida do lado dos lados;
4
Vp = l². h
Vp = 3². 36
Vp = 9. 36
Vp = 324 cm³
Prisma Hexagonal Regular:
12 = 2 medida do lado do hexágo;
6
Vp = Ab. h
Vp = 3l²√3. h
2
Vp = 3.2²√3. 36
2
Vp = 216√3
Se a altura por 12:36:
Prisma Triangular Regular:
36 = 12 medida do lado do triangulo;
3
Vp = Ab. h
Vp = 12²√3 . 12
4
Vp = 144√3 . 12
4
Vp = 36√3 . 12
Vp = 432√3 cm³
Prisma Quadrangular Regular:
36 = 9 medida do lado dos lados;
4
Vp = l². h
Vp = 9². 12
Vp = 81. 12
Vp = 972 cm³
Prisma Hexagonal Regular:
36 = 6 medida do lado do hexágono;
6
Vp = Ab. h
Vp = 3l²√3. h
2
Vp = 3.6²√3. 12
2
Vp = 3.36√3. 12
2
Vp = 108√3. 12
2
Vp = 54√3. 12
Vp = 648√3
JUSTIFICATIVA
O Prisma Hexagonal de altura 12 tem o maior volume.
Exercício 3
Rotacionando um quadrado de lado 2 cm em torno de um eixo que passa por um de seus lados obtemos um cilindro circular reto, como mostra a figura. Determine a área total do cilindro e seu volume.
Resolução:
Área Total (At) = 2 - Área base (Ab) + Área lateral (Al)
Ab = ∏ 22 = 4∏ cm2
Al = 2∏R . h = 2∏2 . 2 = 8∏cm2
At = 2 . ∏ 22 + 2∏R . h = 2 . 4∏ + 8∏ = 16∏cm2
Volume do Cilindro (Vcil) = Ab.h = 4∏2 = 8∏ cm2
Aula Baseada na Vídeo Aula: Youtube
Professor Roberto Perides Moisés.
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