11 - Sequências (I) - MATEMÁTICA

Exercício da Aula 11:

Exercício 1:

Encontre uma fórmula recursiva e uma fórmula posicional para determinar o número de pontos da nésima figura em cada sequência de números figurados indicada a baixo.

Resolução:

"Posicional = an = n2 + n /2
triangulares"

a)Posicional: an = n²

A1 = 1

A2 = 2² = 4

A3 = 3² = 9

A4 = 4² = 16

Recursiva : an = a(n-1) + (n -1) + n

A1 = 1

A2 = 1 + (2 – 1) + 2 = 4

A3 = 4 + (3 – 1) + 3 = 9

A4 = 9 + ( 4 – 1) + 4 = 16

Resolução:

b)    Posicional: an = n² + n² - n
A1 = 1
A2 = 2² + 2(2-1) = 4 + 2 = 6
A3 = 3² + 3(3-1) = 9 + 6 = 15
A4 = 4² + 4(4-1) = 16 + 12 = 28

Recursiva: an = (n + n -1).n
A1 = 1
A2 = (2 + 2 -1).2 = 6
A3 = (3 + 3 -1).3 = 15

A4 = (4 + 4 -1).4 = 28

Exercício 2:

Para o exercício a seguir, serão úteis as seguintes fórmulas:

Termo geral de uma progressão aritmética → a_n = a₁ + ( n –  1 ) × r


Soma de n termos de uma progressão aritmética → S_n =  ( a₁ +  a_n ) × n

                                                                                                     n

No triângulo

1

3      5 

7      9     11 

13   15    17    19 

⋮

Resoluções:

DETERMINE: 
a) O primeiro elemento da 31ª linha.
Os primeiros termos de cada linha são: 1, 3, 7, 13 ... ou seja, eles aumentam 2, 4, 6...
Assim, pode-se afirmar que trata-se de uma progressão aritmética de segunda ordem. 
Calculando a fórmula posicional, você achará que an = n + (n - 1) 2
Jogando 31 nessa fórmula, você achará que a₃₁ = 931. 



b)  A soma dos elementos da 31ª linha
Fazendo a mesma coisa com o último termo de cada linha, você encontrará a seguinte fórmula: 
a_n = n² + (n - 1).r    

Jogando o 31 na fórmula, encontraremos 991. 

Resumindo, sendo o primeiro termo da linha 31 = 931 e o último termo = 991, basta substituir na fórmula da soma de p.a. e na fórmula geral da p.a (para achar o valor de "n")

a_n = a₁ + (n - 1).r   ------> n = 31 (lembrar que a razão de elemento para elemento é 2)

S_n =  ( a₁ +  a_n ) × n
                      2

3) Fazendo a divisão de 5 por 7 pelo algoritmo convencional temos:

Observe que o quociente é uma dízima periódica. 

Qual é o milésimo algarismo depois da vírgula do quociente dessa conta?

O algarismo de ordem 6n < 1000 será 5 => 6n=996 faltam 4, logo a resposta é 2,

pois, 1000/6 = 166 e restam 4.

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Professor José Luiz Pastore Mello