28 - Matemática e Música (II) - MATEMÁTICA

Exercícios:

1. Vimos que uma abordagem física da construção das escalas musicais considera como padrão de referência a frequência de vibração de cada nota musical. Há uma relação inversa entre o comprimento da corda vibrante esticada sobre um monocórdio (ou outro instrumento de corda) e sua frequência. Se a frequência de uma corda vibrante é , ao dividirmos a corda em ½ de seu comprimento, obteremos uma nota cuja frequência é o inverso de ½, ou seja 2.

Dessa forma, as frequências das notas da escala pitagórica podem ser obtidas invertendo-se as frações correspondentes à divisão da corda solta no  monocórdio.

a) Preencha a tabela abaixo com as razões entre as frequências para cada intervalo da escala pitagórica:

Intervalo	Razão entre os comprimentos da corda (em relação à corda inteira)	Razão entre as frequências das notas (em relação à nota fundamental: )
Uníssono	1 : 1	1 : 1 = 1
Segunda Maior	8 : 9	9:8 = 1,12
Terça Maior	64 : 81	81:64 = 1,27
Quarta Justa	3 : 4	4:3 = 1,33
Quinta Justa	2 : 3	3:2 = 1,5
Sexta Maior	16 : 27	27:16 = 1,69
Sétima Maior	128 : 243	243 : 128 = 1,90
Oitava Justa	1 : 2	2 : 1 = 2

b) Partindo da frequência da nota Dó_4[1], 261,6 Hz, obtenha a frequência das demais notas da escala natural considerando as razões entre as frequências da escala pitagórica obtidas na tabela do item anterior:

---

[1]
                        [1] O número subscrito ao nome da nota refere-se à posição da mesma no piano, indicando se ela é mais aguda (números maiores) ou mais grave (números menores. Assim, a nota Dó₄ é uma oitava mais grave que a Dó₅, e uma oitava mais aguda que a Dó₃.

Nota	Intervalo	Frequência em Hz (aprox. 2 casas decimais)
Dó	Uníssono	261,60
Ré	Segunda Maior	294,30
Mi	Terça Maior	331,09
Fá	Quarta Justa	348,80
Sol	Quinta Justa	392,40
Lá	Sexta Maior	441,45
Si	Sétima Maior	496,63
Dó	Oitava Justa	523,20

Para cada frequência for feita a seguinte conta: 261,60 . r ; 

onde "r" é a razão entre as frequências das notas. 

c) A “distância” entre as notas da escala natural varia entre 1 tom e ½ tom. A diferença é de 1 tom entre Dó e Ré, Ré e Mi, Fá e Sol, Sol e Lá, Lá e Si. A diferença é de ½ tom entre Mi e Fá e entre Si e Dó. Calcule a razão entre as frequências das notas consecutivas na escala obtida no item anterior. Quando a distância for de 1/2 tom, obtenha a frequência equivalente a 1 tom.

___

Resolução:

331,09 : 294,30 = 1,125

05625 = 1,125 : 2

392,90 : 348,80 = 1,126

441,45 : 392,40 - 1,125

496,63 : 441,45 = 1,125

0,5625

d) Na escala pitagórica, a composição de dois semitons gera um tom? Explique a partir dos dados da tabela anterior.

Sim, dois semitons gera um tom. Pois se fizermos a seguinte conta:

0,5625 + 0,5625 = 1,125

semiton  semiton   tom

2. Simon Stevin superou os problemas da escala pitagórica (ciclo de quintas que não coincide com ciclo de oitavas; composição de dois semitons não gera um tom) resolvendo a equação

 

Ou seja, criou uma unidade para o semitom da escala que fosse igual para todos os intervalos. Este ajuste fico conhecido por “temperamento igual” da escala. Dessa forma, as frequências relativas entre as notas sucessivas da escala ficaram iguais e o ciclo de quintas passou a coincidir com o ciclo de oitavas.

Use uma calculadora e obtenha as frequências relativas da escala natural a partir da fórmula: , onde n é o número de semitons da nota em relação à fundamental.

Por exemplo, a nota Mi possui 4 semitons de distância em relação à nota Dó. Portanto, sua frequência será , ou seja, aproximadamente 1,26 vezes a frequência de Dó.

a) Preencha a tabela abaixo com as frequências relativas e absolutas da escala temperada de Dó. 

Nota	Intervalo	n: número de semitons em relação a Dó	Frequência relativa	Frequência absoluta em Hz (aprox. 2 casas decimais)
Dó	Uníssono	0		261,60
Ré	Segunda Maior	2		293,64
Mi	Terça Maior	4	f4 = 1,26	329,62
Fá	Quarta Justa	5	f5 = 1,335	349,24
Sol	Quinta Justa	7	f7 = 1,498	391,88
Lá	Sexta Maior	9	f9 = 1,682	440,01
Si	Sétima Maior	11	f11 = 1,888	493,90
Dó	Oitava justa	12	f12 = 2	523,20

b) Comparando as frequências obtidas nas tabelas do exercício 1, itens a e b, com a tabela do item anterior, podemos ver as pequenas diferenças entre a escala pitagórica e a escala temperada (ajustada). Quais as notas que possuem a maior e a menor diferença percentual entre as frequências das duas escalas (com exceção do próprio Dó)?

	Pitagória	Temperatura	Diferença	%
Ré	299,30	293,64	0,66	0,22
Mi	331,09	329,62	1,47	0,44
Fá	348,80	349,24	0,44	0,126
Sol	392,40	391,88	0,52	0,132
Lá	441,45	440,01	1,44	0,32
Si	496,63	493,90	2,73	0,55

Maior diferença: Si

Menor diferença: Fá

Aula Baseada na Vídeo Aula: Youtube

Professor José Luiz Pastore Mello.